МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
"Чувашский государственный аграрный университет"
(ФГБОУ ВО Чувашский ГАУ)
Математики, физики и информационных технологий
Проректор по учебной
и научной работе
Направление подготовки 09.03.03 Прикладная информатика
Направленность (профиль) Прикладная информатика в агропромышленном комплексе
рабочая программа дисциплины (модуля)
Распределение часов дисциплины по семестрам
Семестр
(<Курс>.<Семестр на курсе>)
канд. техн. наук, доц., Константинов Ю.В.
1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования - бакалавриат по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика (приказ Минобрнауки России от 19.09.2017 г. № 922).
При разработке рабочей программы дисциплины (модуля) "Численные методы" в основу положены:
2. Учебный план: Направление подготовки 09.03.03 Прикладная информатика
Направленность (профиль) Прикладная информатика в агропромышленном комплексе, одобренный Ученым советом ФГБОУ ВО Чувашский ГАУ от 26.03.2024 г., протокол № 12.
Рабочая программа дисциплины (модуля) проходит согласование с использованием инструментов электронной информационно-образовательной среды Университета.
Заведующий кафедрой Максимов А.Н.
Заведующий выпускающей кафедрой Максимов А.Н.
Председатель методической комиссии факультета Гаврилов В.Н.
Директор научно-технической библиотеки Викторова В.А.
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
получение знаний по теории численных методов и навыков применения численных методов для решения прикладных задач с использованием ПЭВМ
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП
Требования к предварительной подготовке обучающегося:
Пакеты прикладных программ
Теория систем и системный анализ
Основы проектной деятельности
Основы цифровой электроники
Учебная практика, ознакомительная практика
Студенты в среде электронного обучения
Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее:
Проектирование информационных систем
Современные проблемы агропромышленного комплекса региона
Теория автоматического управления
Автоматические системы управления в агропромышленном комплексе
Математическое и имитационное моделирование
Геоинформационные системы
Производственная практика, технологическая (проектно-технологическая) практика
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
УК-1. Способен осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач
УК-1.1 Знает: методики поиска, сбора и обработки информации, метод системного анализа
УК-1.2 Умеет: применять методики поиска, сбора, обработки информации, системный подход для решения поставленных задач и осуществлять критический анализ и синтез информации, полученной из актуальных российских и зарубежных источников
УК-1.3 Имеет навыки: поиска, сбора и обработки, критического анализа и синтеза информации, для решения поставленных задач
ОПК-1. Способен применять естественнонаучные и общеинженерные знания, методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования в профессиональной деятельности;
ОПК-1.1 Демонстрирует и использует знания математики, физики, вычислительной техники и программирования для решения задач в профессиональной деятельности
ОПК-1.2 Решает стандартные профессиональные задачи с применением естественнонаучных и общеинженерных знаний, методов математического анализа и моделирования
ОПК-1.3 Демонстрирует навыки теоретического и экспериментального исследования объектов профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
методики поиска, сбора и обработки информации;
основные положения системного анализа; методы математического анализа и математического моделирования;
методы сбора и обработки экспериментальных данных.
применять методики поиска, сбора, обработки информации, системный подход для решения поставленных задач и осуществлять критический анализ и синтез информации, полученной из актуальных российских и зарубежных источников;
решать стандартные профессиональные задачи с применением естественнонаучных и общеинженерных знаний, методов математического анализа и моделирования
Иметь навыки и (или) опыт деятельности:
использовать различные виды информационного обеспечения для решения прикладных задач;
математического моделирования прикладных задач и анализа результатов их решения.
Наименование разделов и тем /вид занятия/
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Раздел 1. Основные понятия численных методов
Погрешности вычислений /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических
занятиях
Погрешности вычислений /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Погрешности вычислений /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Корректность и обусловленность задач и алгоритмов /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Корректность и обусловленность задач и алгоритмов /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Корректность и обусловленность задач и алгоритмов /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Раздел 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических
занятиях
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Итерационные методы решения линейных алгебраических систем /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Раздел 3. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем
Численные методы решения нелинейных уравнений /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Численные методы решения нелинейных уравнений /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Численные методы решения нелинейных уравнений /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Численные методы решения нелинейных систем /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Численные методы решения нелинейных систем /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Численные методы решения нелинейных систем /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Раздел 4. Приближение функций
Полиномиальная интерполяция /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Полиномиальная интерполяция /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
проверка решения задач
учебная дискуссия
Полиномиальная интерполяция /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических
занятиях, ИДР
Аппроксимация функций /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Аппроксимация функций /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Аппроксимация функций /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Раздел 5. Численное дифференцирование и интегрирование функций
Численное дифференцирование функций /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Численное дифференцирование функций /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Численное дифференцирование функций /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Численное интегрирование функций /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Численное интегрирование функций /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
проверка решения задач
учебная дискуссия
Численное интегрирование функций /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Раздел 6. Численные методы минимизации функций
Одномерная минимизация функций /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях проблемная лекция
Одномерная минимизация функций /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Одномерная минимизация функций /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Многомерная минимизация функций /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Многомерная минимизация функций /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Многомерная минимизация функций /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Раздел 7. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных диффернциальных уравнений
Одношаговые методы решения задачи Коши /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях проблемная лекция
Одношаговые методы решения задачи Коши /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Одношаговые методы решения задачи Коши /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Многошаговые методы решения задачи Коши /Лек/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
опрос на практических занятиях
Многошаговые методы решения задачи Коши /Пр/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
Многошаговые методы решения задачи Коши /Ср/
УК-1.1 УК-1.2 УК-1.3 ОПК-1.1 ОПК-1.2 ОПК-1.3
5. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
5.1. Примерный перечень вопросов к зачету
1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа.
2. Запись и правила округления приближенных чисел.
3. Основные источники погрешности. Правила приближенных вычислений.
4. Определение количества верных значащих цифр результата вычислений.
5. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
6. Метод прогонки.
7. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений.
8. Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений.
9. Численные методы решения нелинейных уравнений. Отделение корней.
10. Метод дихотомии решения нелинейного уравнения.
11. Метод итераций решения нелинейного уравнения.
12. Метод касательных.
13. Метод итераций решения нелинейных систем уравнений.
14. Метод Ньютона решения нелинейных систем уравнений.
15. Задача интерполирования. Построение интерполирующей функции.
16. Интерполяционная формула Лагранжа.
17. Интерполяционные формулы Ньютона.
18. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов.
19. Численное дифференцирование функции. Оценка погрешности.
20. Квадратурные формулы. Оценка погрешности.
21. Метод дихотомии поиска минимума функции.
22. Метод золотого сечения поиска минимума функции.
23. Методы минимизации, использующие производные: метод касательных.
24. Постановка задачи безусловной минимизации функции двух переменных.
25. Понятие о методах спуска. Методы покоординатного спуска.
26. Метод наискорейшего спуска.
27. Метод сопряженных направлений.
28. Метод Ньютона поиска минимума функции двух переменных.
29. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
30. Метод Эйлера.
31. Метод Рунге-Кутта.
32. Метод Адамса.
33. Метод Милна.
5.2. Примерный перечень вопросов к экзамену
Не предусмотрено учебным планом.
5.3. Тематика курсовых работ (курсовых проектов)
Не предусмотрено учебным планом.
Примерная тематика докладов и рефератов
1. Место численных методов в системе математических наук
2. Задачи численных методов. Примеры
3. Моделирование: задачи, виды, этапы
4. Решение задач распределения ресурсов в Поиск решения в ЭТ
5. Решение задачи линейного программирования. Графическая интерпретация.
6. Точные и численные методы решения алгебраических, нелинейных уравнений
7. Метод половинного деления (дихотомия)
8. Метод простых итераций
9. Метод касательных (Ньютона)
10. Метод секущих
11. Численные методы вычисления определённых интегралов
12. Метод левых прямоугольников
13. Метод правых прямоугольников
14. Метод средних прямоугольников
15. Метод трапеций
16. Метод Симпсона
17. Приближение функций
18. Интерполяция
19. Аппроксимация
20. Классификация методов оптимизации
21. Методы одномерной оптимизации
22. Методы решения систем линейных уравнений
5.4. Фонд оценочных средств для проведения текущего контроля
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Численные методы: учебное пособие
6.1.2. Дополнительная литература
Численные методы: учебное пособие
Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2018
6.3.1 Перечень программного обеспечения
Справочная правовая система КонсультантПлюс
Электронный периодический справочник «Система Гарант»
6.3.2 Перечень информационных справочных систем
Электронная библиотечная система издательства «Лань». Полнотекстовая электронная библиотека. Индивидуальный неограниченный доступ через фиксированный внешний IP адрес академии неограниченному количеству пользователей из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет.http://e.lanbook.com
Электронная библиотека технического ВУЗа (ЭБС «Консультант студента»). Полнотекстовая электронная библиотека. Индивидуальный неограниченный доступ через фиксированный внешний IP адрес академии неограниченному количеству пользователей из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет. http://www.studentlibrary.ru
Электронно-библиотечная система ZNANIUM.COM. Полнотекстовая электронная библиотека. Индивидуальный неограниченный доступ через фиксированный внешний IP адрес академии неограниченному количеству пользователей из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет. http://znanium.com/
Электронная библиотечная система «ЭБС ЮРАЙТ www.biblio-online.ru». Полнотекстовая электронная библиотека. Индивидуальный неограниченный доступ через фиксированный внешний IP адрес академии неограниченному количеству пользователей из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет. https://www.biblio-online.ru/
Электронный периодический справочник «Система ГАРАНТ». Полнотекстовый, обновляемый. Доступ по локальной сети академии
Национальная электронная библиотека. Доступ посредством использования сети «Интернет» на 32 терминала доступа. https://нэб.рф/
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Демонстрационное оборудование (экран Lumien Eco Picture LEP-100102 180*180 см (1 шт.), проектор Acer X127H DLP3600Lm(1204*768) (1 шт.), ноутбук Lenovo (1 шт.) и учебно-наглядные пособия, доска ученическая настенная трехэлементная (1 шт.), осветитель доски (1 шт.), скамейка 4-х местная на металлокаркасе (17 шт.), стол ученический 4-х местный (17 шт.), кафедра лектора настольная (1 шт.), стол преподавательский однотумбовый (1 шт.), стул полумягкий (1 шт.)
Доска ученическая настенная трехэлементная (1 шт.), кафедра лектора настольная (1 шт.), стол ученический 4-х местный на металлокаркасе (26 шт.), стол преподавательский (1 шт.), стул полумягкий (1 шт.), скамейка 4-х местная на металлокаркасе (25 шт.), плакат настенный (1 шт.)
Доска ученическая настенная трехэлементная (1 шт.), стол двухтумбовый (1 шт.), кафедра лектора настольная (1 шт.), стол ученический 2-х местный на металлокаркасе (19 шт.), стул полумягкий (1 шт.), стул ученический на металлокаркасе (32 шт.), шкаф для одежды глубокий (1 шт.), шкаф трехстворчатый (1 шт.), учебные плакаты по математике (6 шт.), вывеска над доской (М.В. Ломоносов) (1 шт.), осветитель доски (1 шт.), проектор ACER X128Н черный, персональный компьютер "Информатика" с LСD монитором (1 шт.)
Демонстрационное оборудование (интерактивная доска SMART Board 660 (1 шт.), компьютер в комплекте: сист.блок CPU Intel Core i3-10100, Монитор Acer R240HYbidx 23,8", Клавиатура+ мышь A4 Tech (10 шт.), персональный компьютер "Информатика" с LСD монитором (2 шт.) доска ученическая настенная трехэлементная (1 шт.), кафедра лектора настольная (1 шт.), стол преподавательский однотумбовый (1 шт.), стул полумягкий (9 шт.), стол компьютерный (13 шт.), стол ученический 2-х местный (16 шт.), стул ученический на металлокаркасе (29 шт.), шкаф книжный с остекленными дверцами (1 шт.), учебно-наглядные пособия: информационный стенд (1шт.), демонстрационный комплекс "Машиностроительное черчение" (10 шт.)
Помещение для самостоятельной работы
Столы (28 шт.), стулья (48 шт.), шкаф и стеллажи с литературой, компьютерная техника с возможностью подключения к сети "Интернет" и обеспечением доступа в электронную информационно-образовательную среду организации(4 шт.).
Помещение для самостоятельной работы
Компьютерная техника с возможностью подключения к сети "Интернет" и обеспечением доступа в электронную информационно-образовательную среду организации (ноутбуки, персональные компьютеры) (4 шт.)
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Методика изучения дисциплины предусматривает наряду с лекциями и практическими занятиями, организацию самостоятельной работы студентов, проведение консультаций, руководство докладами студентов для выступления на научно-практических конференциях, осуществление текущего, промежуточного форм контроля.
Система знаний по дисциплине «Численные методы» формируется в ходе аудиторных и внеаудиторных (самостоятельных) занятий. Используя лекционный материал, учебники и учебные пособия, дополнительную литературу, проявляя творческий подход, бакалавр готовится к практическим занятиям, рассматривая их как пополнение, углубление, систематизацию своих теоретических знаний.
Для освоения дисциплины студентами необходимо:
-посещать лекции, на которых в сжатом и системном виде излагаются основы дисциплины: даются определения понятий, формулировки теорем, которые должны знать студенты. Студенту важно понять, что лекция есть своеобразная творческая форма самостоятельной работы. Надо пытаться стать активным соучастником лекции: думать, сравнивать известное с вновь получаемыми знаниями, войти в логику изложения материала лектором, следить за ходом его мыслей, за его аргументацией, находить в ней кажущиеся вам слабости. Во время лекции можно задать лектору вопрос и получить на него ответ. Слушая лекцию, следует зафиксировать основные идеи, положения, обобщения, выводы. Работа над записью лекции завершается дома. На свежую голову (пока еще лекция свежа в памяти) надо уточнить то, что записано, обогатить запись тем, что не удалось зафиксировать в ходе лекции, записать в виде вопросов то, что надо еще прояснить, до конца понять. Важно соотнести материал лекции с темой учебной программы и установить, какие ее вопросы нашли освещение в прослушанной лекции. Тогда полезно обращаться и к учебнику. Лекция и учебник не заменяют, а дополняют друг друга;
- посещать практические занятия, к которым следует старательно готовиться и активно на них работать. Задания к практическим занятиям выдает преподаватель. Задание включает в себя основные вопросы, задачи, тесты и рефераты для самостоятельной работы, литературу. Практические занятия начинаются с вступительного слова преподавателя, в котором называются цель, задачи и вопросы занятия. На практических занятиях решаются задачи, разбираются тестовые задания и задания, выданные для самостоятельной работы. Студенты, пропустившие занятие, или не подготовившиеся к нему, приглашаются на консультацию к преподавателю. Практическое занятие заканчивается подведением итогов: выводами по теме и выставлением оценок;
- систематически заниматься самостоятельной работой, которая включает в себя изучение материалов учебников и статей из литературы по численным методам, решение задач, написание докладов, рефератов. Задания для самостоятельной работы выдаются преподавателем;
- под руководством преподавателя заниматься научно-исследовательской работой, что предполагает выступления с
Актуализированная рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании выпускающей кафедры, протокол № ___ от _____________________
Заведующий выпускающей кафедрой _________________________________
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в 20___ /20___ учебном году
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в 20___ /20___ учебном году
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в 20___ /20___ учебном году
Актуализированная рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании выпускающей кафедры, протокол № ___ от _____________________
Актуализированная рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании выпускающей кафедры, протокол № ___ от _____________________
Актуализированная рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании выпускающей кафедры, протокол № ___ от _____________________
Заведующий выпускающей кафедрой _________________________________
Заведующий выпускающей кафедрой _________________________________
Заведующий выпускающей кафедрой _________________________________
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в 20___ /20___ учебном году
Актуализированная рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании выпускающей кафедры, протокол № ___ от _____________________
Заведующий выпускающей кафедрой _________________________________
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в 20___ /20___ учебном году
Актуализированная рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании выпускающей кафедры, протокол № ___ от _____________________
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
в 20___ /20___ учебном году
Заведующий выпускающей кафедрой _________________________________